ТЕМА 5. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Современные математические модели являются сложными и для выполнения расчетов по ним необходимо использовать ЭВМ. Поэтому алгоритмы или методы расчета, приведенные в предыдущей главе, следует перевести на какой-либо язык программирования. В настоящее время для научных разработок популярными являются языки типа ФОРТРАН, СИ, ПАСКАЛЬ. Но для широкого круга пользователей эти языки считаются сложными и поэтому большое распространение получили более понятные специалистам предметной области системы типа EXCEL, MATLAB, MATHCAD, MAPLE и т.д. Мы будем ориентироваться на систему MATLAB, которая используется на лабораторных работах данного учебного курса.
^ 5.1 Краткая характеристика MATLAB
Система MATLAB (сокращение от MATrix LABoratory – МАТричная ЛАБоратория) разработана фирмой The MathWorks, Inc. (США, г. Нейтик, штат Массачусетс) и является интерактивной системой для выполнения инженерных и научных расчетов, которая ориентирована на работу с массивами данных, позволяет обращения к программам, написанным на языках Fortran, C ++ . Система поддерживает выполнение операций с векторами, матрицами и массивами данных, поддерживает работу с алгебраическими полиномами, решение дифференциальных и разностных уравнений, решение нелинейных уравнений и задач оптимизации и т.д., а также построение различных видов графиков, трехмерных поверхностей и линий уровня.

Операционная среда системы MATLAB включает командное окно, инструментальную панель, подсистемы просмотра рабочей области и путей доступа, редактор/отладчик М-файлов и др. Пользователь может сам написать программы с помощью редактора М-файлов, которые оформляются в виде М-файлов (М-файлы имеют расширение .m ). Каждую программу необходимо создавать, редактировать (т.е. корректировать) и выполнять (т.е. производить расчет).

Для создания новой программы в меню ^ File выбираются опция New и затем M-File; в результате открывается окно редактора М-файлов. В этом окне набирается текст программы. После того как этот текст набран следует сохранить программу с каким-либо именем (для этого в меню File выбирается опция Save as ).

Для выполнения программы следует перейти в командное окно и в командной строке, обозначаемой на экране символами >> набрать имя М-файла.

Для редактирования уже созданного М-файла надо из командного окна вернуться в окно редактора с текстом программы.

^

Формирование массивов в системе MATLAB

В системе MATLAB основным объектом являются массивы (матрицы и вектора), для которых не требуются явно указывать размерности. Для формирования числового массива числа указываются внутри квадратных скобок, разделитель между числами – пробелы. Для отделения строк матриц используется символ ; . Пример .

Матрица А = из 3 линий и 2 столбцов записывается в виде: А = .

Для формирования массивов используется символ : . Пример .

Задать вектор С , состоящий из чисел от 0 до 0,5 с шагом 0,1: С = 0: 0.1: 0.5. На экране появится строка:

С = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Если шаг равен 1, то он не задается, например, для задания вектора В, состоящего из чисел 3, 4, 5, 6, 7, можно записать: В = 3: 7. Тогда на экране появится:

В = 3 4 5 6 7
Символ : используется также для выделения подблоки массива. Пример. Выделить у матрицы А = первый столбец: А (: , 1).
Массивы можно объединять. Пусть x = 1, 2, 3, 4, а y = 5, 6, 7, 8. Тогда фрагмент программы для формирования объединенного массива z будет следующий:

x = 1:4;

z = [x; y ]

на экране появится: z =

Арифметические операции. Используются арифметические операторы сложения + , вычитания – , умножения * , деления / , возведения в степень ^.

матриц комплексное сопряжение не выполняется).

Например, пусть A = , тогда A. ′ = .

p1 ) .^ поэлементное возведение в степень, А. ^B.

Например, пусть A = , тогда A. ^2 =
.

p1 ) ′ - транспонирование матрицы. Для комплексных матриц транспонирование дополняется

комплексным сопряжением.

Например пусть A = , тогда А′ =
.

p1 ) ^ возведение матрицы в степень, А^р (только для квадратных матриц и для целых чисел p). Например, пусть матрица A =
. Тогда A^2 =

p2 ) .* поэлементное перемножение двух массивов одинакового размера.
Например, пусть A =
B =
, тогда А. *В =

На скаляр умножаются все элементы массива, например, пусть A = . Вычислить F =3*A. Получим F =
.
p2 ) * умножение матриц, А*В.

Например, пусть A = B = . Тогда А *В =
.
p2 ) ./ поэлементное деление массивов. Массивы должны быть одинаковых размеров или массив делится на скаляр. Например, пусть A = . Тогда B./ 3 = .
p3 ) + сложение и - вычитание для скаляров, векторов и матриц.

Например, пусть A =
и B =
. Тогда А - В =
.

PS: Операции типа p1 выполняются раньше, чем p2, а p2 раньше, чем p3. Внутри каждого уровня приоритет одинаковый, вычисления выполняются слева-направо. Можно ставить круглые скобки, чтобы определить необходимый порядок операций

^

Некоторые специальные символы

() - указание последовательности выполнения операций. Примеры:

a) задать массив x от 0 до 3 с шагом 0.1 и представить в виде столбца: x =(0: 0.5: 2)′

b) вычислить
: y =(x +0.5)/2
- формирование массивов (см. раздел “Формирование массивов в системе MATLAB”)
% - с этого символа начинаются комментарии. Они могут быть в виде отдельных строк либо следовать после любой из команд.
; этот символ используется: a) для подавления вывода на экран результатов вычислений; b) для отделения строк матриц.
: - этот символ используется для формирования векторов, а также для выделения строк или столбцов массива.
pi - число π = 3,141592653897
ans - результат выполнения операции в том случае, если выходная переменная не указана (в этом случае MATLAB использует переменную ans ).
inf - этот символ появляется на экране, когда при вычислении в одной из ячеек переполняется разрядная сетка (“фактическая” ∞). Например, при выполнении операции деления на нуль.
NaN - специальная переменная для обозначения неопределенного значения, результата операций типа: 0/0, inf/inf и т.д.

^

Элементарные математические функции

abs - абсолютное значение, например, пусть x = [-2 4 –8.5], тогда abs(x ) = .

sin, cos, tan и т.д. – тригонометрические функции, аргументы (углы) задаются в радианах. Например, t = cos(x );

ехр - экспоненциальная функция (e x ), например: y = exp(x );

log - натуральный логарифм, например: c = log(d );

log10 – десятичный логарифм, например, z = log10(y );

sqrt - квадратный корень, например: b = sqrt(a );
Некоторые графические функции
figure - функция для открытия графического окна на экране
xlabel, ylabel - функции для наименования осей x и y
title - функция для размещения заголовка над графиком
plot (x,y) - функция для построения двумерного графика зависимости y = f(x) в декартовых координатах (тип маркера, цвет и тип линии на графике выбирается автоматически);
plot (x1, y1, LineSpec1, x2, y2, LineSpec2,...) - функция для построения на графическом окне нескольких зависимостей с заданием для каждой линии маркера, цвета и типа линии.
polar(x,y) – функция для построения зависимости y = f(x) в полярных координатах.
meshgrid(x, y) - функция задает прямоугольную сетку на плоскости (x , y ) в виде двумерных массивов, которые определяются заданными векторами x и y .

Пример: [X,Y ] = meshgrid(1:0.5:2,10:14). В результате получаем:

X = 1 1.5 2 Y = 10 10 10

1 1.5 2 11 11 11

1 1.5 2 12 12 12

1 1.5 2 13 13 13

1 1.5 2 14 14 14
mesh(x,y,z) - функция выводит на экран трехмерную сетчатую поверхность зависимости z = f(x, y) .

surf(x,y,z) - функция выводит на экран сплошную сетчатую поверхность зависимости z = f(x, y) .

^

Интерактивный доступ к справочной информации и документации

1 . Команда help имя_функции . Набирается в непосредственно в командном окне MATLAB Command Window. Например: help sin.

2 . Меню HELP командного окна. Это меню дает полную справочную информацию о системе MATLAB, содержит больше подробностей и примеров, чем по команде help. Пользователь может ознакомиться с полной документацией по системе MATLAB (подменю Contents), либо открыть список всех функций в алфавитном порядке (подменю Index), либо организовать поиск по имени (подменю Search). Также есть возможность открыть список функций по категориям (MATLAB Functions Listed by Category), открыть список примеров по категориям (Index of Documentation Examples) и другие возможности.
^

Примеры:

a) Найти функции линейной алгебры. Открываем последовательность окон:

HELP – MATLAB Help - Finding Functions and Properties - Matlab Functions Listed by Category – Mathematics –- Linear Algebra

HELP – MATLAB Help - Finding Functions and Properties - Matlab Functions Listed by Category- Graphics – Basic Plots and Graphs.
3 . Еще один способ получить информацию о системе MATLAB – обращение к Web-серверу фирмы The MathWorks.

^

5.2 Задачи линейной алгебры, вычисление функций и построение графиков

Система MATLAB ориентирована на работу с массивами и основные задачи линейной алгебры представляются в этой системе в экономной форме. Ниже рассмотрены некоторые типичные задачи линейной алгебры и их программная реализация.

Пример1 . Умножить вектор
на вектор
.

Как известно при умножении векторов первый вектор должен быть строкой, а второй – вектором-столбцом и они должны иметь одинаковые размерности. Поэтому решение записывается в виде
a =

b =

c = a*b
Или
a =

b = ′

c = a*b
% Ответ: с = 12.
PS: Если записать b = , то расчет не выполняется, т.к. b будет интерпретирован как вектор-строка.
Пример2 . Умножить матрицу
на матрицу
.

Для корректного выполнения этой операции число элементов в строках матрицы А должно быть равно числу элементов в столбцах матрицы B. Программа запишется в виде:
a = ;

b = ;

На экране появится:

Пример3 . Решить систему линейных уравнений

В матричной форме эта система примет вид: А*x = B, где:

Тогда решение запишется в виде:
^ A = % задаем матрицу коэффициентов при неизвестных

B = % задаем вектор свободных членов

X=A\B % решение системы (Ответ: х 1 =5, х 2 = 3, x 3 = 2)
Символ \ применяется для решения систем линейных уравнений АХ=В .
Пример 4 . Для матрицы А (см. пример 3) найти детерминант и обратную матрицу (A -1) и сосчитать произведение E = A ∙ A -1 . Решение:
A =

C = det(A) %det – функция вычисляет детерминант заданной матрицы

D = inv(A) %inv - функция вычисляет матрицу, обратную заданной

Ответ: С = -6; E = 1.0000 0 0

0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 -0.0000 1.0000

В математических моделях часто требуется вычислить значения выражений типа y = f(x) при различных значениях x а затем представить эти зависимости в графической форме. В системе MATLAB такие задачи решаются просто. Ниже приведены примеры.
^

Пример 5 . В интервале х = вычислить значения:

y = e x и z = 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6 + x 4 /24

для равномерно расположенных 31 точек. Построить зависимости y = f(x) и z = f(x) на одном графике (декартовые координаты). Значения x, y, z на экран не выводить.

y = exp(x); вычисляем значения вектора у

z = 1.0 +x + (x.^2)/2 + (x.^3)/6 - (x.^4)/24; вычисляем значения вектора z

figure открываем графическое окно

plot(x,y," –g ",x,z," –k ") строим график функции y = cos(x)

xlabel(" coordinata x ") даем название для оси x

ylabel(" coordinata y ’) даем название для оси y

title(" y=exp(x) "); даем заголовок для графика
Пример 6 . В интервале х = вычислить значения y = 0,5 ln(x + 1) для равномерно расположенных 101 точек. Построить зависимость y = f(x ) в полярных координатах.
x = (0: pi/10: 10*pi)’;

y = 0.5*log(x + 1);

polar(x , y ); строим график функции y = 0,5ln(x+1)
MATLAB позволяет легко строить трехмерные графики, т.е. зависимости типа z = f(x, y) , что показано в следующем примере.

Пример 7 . Построить поверхность
при х = -1 до +1 с шагом 0,2 и при y = -1 до +1 с шагом 0,2.

Решение задачи:
[x , y ]=meshgrid([-1:0.2:1]);

z =x .*exp(-x .^2 - y .^2);

mesh(x,y,z );

surf(x,y,z );

PS: графические функции описаны выше в разделе “Некоторые графические функции”.

^ 5.3. Решение нелинейных алгебраических уравнений и аппроксимация функций
Система MATLAB позволяет значительно проще, чем на известных языках программирования решать системы нелинейных (алгебраических уравнений) и выполнять аппроксимацию таблично заданных функций.

Пример 8. Решить уравнение
с начальным приближением x 0 = 5 и c выводом итераций на экран:

Решение задачи:
function ex1

options = optimset(" Display "," iter ");

Fzero(@f, 5, options)

function y = f(x)

y = x.^3-2*x-5;
PS: Первые 3 оператора – основная программа, 2 последних оператора – это функция, определяющая зависимость
при различных значениях х .

Ниже приведены краткие описания функций MATLAB, используемые при решении задачи.
fzero (@имя функции, x 0 , options) – поиск нуля функции одной переменной. Решение ищется в окрестности заданной точки x 0 путем отыскания интервала, где функция меняет знак. Если такой интервал не находится, то возвращается Inf или NaN. Параметр options может задавать вывод промежуточных результатов (итераций) на экран и точность расчета.
optimset (" Display "," iter ") – функция для вывода итераций на экран.
- выводит искомое решение и значение функции, соответствующее этому решению.
Более подробно ознакомиться с используемыми функциями можно по HELP MATLAB.
Пример 9 . Решить систему уравнений:

(5.1)

с начальными приближениями x 0 = 2,5; y 0 = 0,5 и c выводом итераций на экран.

Для решения правые части уравнений переносим в левые части

, (5.2)

так, чтобы в правых частях остались нули. Затем ищем минимум функции, состоящей из суммы этих уравнений, возведенных в квадрат: . Так как сумма квадратов всегда положительное число, то минимум функции не может быть меньше 0, а достижение значения f = 0 означает, что величины x и y , соответствующие этому значению, достигают искомых решений системы (5.2).

Решение задачи:
function ex2

options = optimset (" Display "," iter ");

Fminsearch (@eq1, , options)

function f = eq1(x)

f = (x(1).^2 + x(2).^2 - 9).^2 + (x(1) + sin(x(2)) - 3).^2
PS: Между неизвестными в уравнениях (5.1) и переменными программы имеется соответствие: x = x (1), y = x (2).

Функция MATLAB, используемая при решении задачи:
fminsearch (@имя функции, [ начальные приближения переменных], options) – функция поиска минимального значения функции многих переменных.
^ Аппроксимация функции

Аппроксимация таблично заданной функции полиномом n-ой степени выполняется по методу наименьших квадратов (см. пункт 2.4).
Пример 10 . Выполнить аппроксимацию точечно заданной функции x = 0 до 0.7 с шагом 0.1, y = 0.22 0.428 0.604 0.74 0.84 0.91 0.95 0.98 полиномом 2-ой степени. Построить графики точечно заданной функции и аппроксимирующего полинома:
Решение задачи:
x =(0:0.1:0.7)" % массив x состоит из 8 чисел

y =" % массив y состоит из 8 чисел

p=polyfit(x,y,2)

table=

plot(x,y,"k*",x,f,"-g")

xlabel("coordinata x")

ylabel("coordinata y’)

title("Grafiki y(x), f(x) ")
PS: Количество чисел в массивах x и y должно быть одинаковым; table – имя массива, сформированного из 4-х векторов: x, y, f и (y-f ). Всего в этом массиве 8 4 = 32 числа. Массив f также содержит 8 чисел
polyfit (x, y, степень полинома) - функция находит коэффициенты a i полинома p(x) степени n , который аппроксимирует заданную функцию y(x) :
p(x) = a 1 x n + a 2 x n – 1 + … + a n x + a n+1
polyval (p, x ) - функция для вычисления значений полинома p в заданных точках x .

^ 5.4 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и вычисление интегралов
В системе MATLAB с помощью стандартных функций легко решаются обыкновенные дифференциальные уравнения (задача Коши) и вычисляются определенные интегралы.

Пример 11 . Решить дифференциальное уравнение, используя стандартную функцию ode45:

(5.3)
в интервале x = 0 до 30 при y(0) = 2 для a = 0,24.

Предварительно представим уравнение (5.3) системой уравнений:

(5.4)

при начальных значениях: y 1 (0) = 0; y 2 (0) = 2, чтобы исключить из правой части (5.3) независимую переменную x .
Решение задачи.
function ex_eqdif

Ode45(@dif1,,);

function dy=dif1(t,y)

% pravie chasti difderensial. uravneniy

dy(2)=cos(y(1))-sin(y(1))-alfa*y(2);
PS: Фунция dif1(t,y) определяет правые части уравнений (5.4). Между неизвестными в уравнениях (5.4) и переменными программы имеется соответствие: x = y (1), y = y (2).
ode45 (@ имя функции, [ интервал интегрирования], [ начальные условия] ) - функция служит для решения обыкновенных нежестких дифференциальных уравнений методом Runge-Kutta 4-го порядка.
zeros(m,n) - функция формирует массив нулей размера
(где m – число уравнений, n =1).
global – оператор объявляет глобальные переменные. Если вместо переменной alfa в правые части подставить число, то глобальную переменную вводить не надо.
Пример 12 . Решить систему уравнений Лотка-Волтерра, используя функцию ode23:

(5.5)
при х =0 до 10 и начальных условиях: y 1 (0) = 1; y 2 (0) = 1. Параметры  = 0.01 и  = 0.02 задать как глобальные величины. Построить графики функций y 1 (x), y 2 (x) ).
Решение задачи.
function Lotka_Volterra

global alpha beta

alpha=0.01; beta=0.02;

Ode23(@lotka,,);

plot(t,y); %Построение графиков y 1 (t) и y 2 (t)

function dy=lotka(t,y)

global alpha beta

dy(1)=y(1)-alpha*y(1)*y(2);

dy(2)=-y(2)+beta*y(1)*y(2);
PS: Фунция lotka(t,y) определяет правые части уравнений (5.5). Между неизвестными в уравнениях (5.5) и переменными программы имеется соответствие: y 1 = y (1), y 2 = y (2).
ode23 (@ имя функции, [ интервал интегрирования], [ начальные условия] ) - функция служит для решения обыкновенных нежестких дифференциальных уравнений методом Runge-Kutta низкого порядка.
^ Вычисление интегралов
Пример 13 . Вычислить интеграл:

(5.6)
по методу Симпсона (стандартная функция quad) и построить график подинтегральной функции в интервале х = с шагом 0,1.

Решение задачи:
function int1

y=1./(x.^3-2*x-5);

plot(x,y); %Построение графика y(x)

Q = quad(@myfun,0,2)

function y = myfun(x)

y = 1./(x.^3-2*x-5);
PS: Подинтегральная функция вычисляется в фунции myfun(x) при различных значениях х
quad(@имя_подинтегральной_функции, a, b) - численное вычисление интеграла по адаптивному методу Симпсона, где: a и b – пределы интегрирования.

Пример 14 . Вычислить интеграл:

(5.7)
по методу Симпсона (стандартная функция quad) при y = 10 o (преобразовать градусы в радианы). Для величины y в программе использовать глобальную переменную.
Решение задачи.
function int2

Q = quad(@myfun,0,pi/2);

function y = myfun(x)

y=1./sqrt(1-(sin(teta)*sin(x)).^2);
PS: Величине y в программе соответствует глобальная переменная teta . Значение интеграла получаем в переменной Q.

^

Контрольные вопросы

1. Что такое скаляр, вектор, матрица? Дайте определения и примеры.
2. Какие действия можно проводить с векторами и матрицами? Привести примеры.
3. Как в MATLABе формируются массивы: одномерные и двумерные? Дать примеры.
4. Дайте определение транспонированному вектору и транспонированной матрице. Как они формируются в MATLABе? Привести примеры.
5. Дайте определение детерминанту и обратной матрице. Как они вычисляются в MATLABе? Привести примеры.
6. Элементарные функции и их запись в MATLABе. Привести примеры.
7. Выполнить вручную (без помощи компьютера) следующие действия:

Умножить вектор P на вектор Y;

Умножить матрицу G на вектор Y;

Умножить матрицу G на матрицу F,

8. Написать программу на MATLABе для выполнения действий, указанных в вопросе 7.

9. Дана матрица
. Определить без помощи компьютера обратную ей матрицу – A -1 .

10. Найти без помощи компьютера детерминант матрицы
.

11. Дана система линейных уравнений:
(1P)

или в матричном виде C ּX = B .

Составить на MATLABе программу решения этой системы с определением детерминанта матрицы С .
12. Найти с помощью MATLABа матрицу, обратную матрице С (из вопроса 11). Как с помощью матрицы С -1 найти неизвестные x 1 , x 2 , x 3 , x 4 из системы (1P)?
13. Решить с помощью MATLABа систему уравнений
(2P)

Найти причину неудачи, если система (2P) не решается. Определить детерминант матрицы коэффициентов при неизвестных.
14.Для условий вопроса 7 написать на MATLABе программу:

Умножения 1-ой строки матрицы G на 2-ой столбец матрицы F;

Умножения 2-ой строки матрицы F на 2-ой столбец матрицы G.
15. С помощью MATLABа для зависимости длины тормозного пути ^ S (м) в функции от скорости V f (м/с):

где скорость задана в интервале V f = 10…40 (шаг по скорости равен 2м/с), построить графики зависимостей: S = f(V f ) и V f = φ(S) .
16. Решить графически (с помощью MATLABа) уравнение:

(3P)

в интервале x = 0…10π с шагом 0,1π. Сколько корней имеет уравнение (3P)?
17. С помощью MATLABа в декартовых координатах построить окружность с центром в точке x = 1, y = 1 и радиусом, равным 1. По оси x выбрать шаг Δ x = 0,05.
18. С помощью MATLABа построить зависимость y = ln(x + 1) в декартовых координатах в интервале x = 0…4π с шагом 0,2π, а также зависимость r = ln(φ + 1) в полярных координатах в том же интервале и с тем же шагом по φ .
19. С помощью MATLABа на одном графике в полярных координатах с шагом
= 0,1 в интервале построить зависимости (спирали с 3-мя оборотами):
а) r = 0,4φ + 0,03φ 2 (4P)

b) зависимость (4Р), но закрученную в обратном направлении.
20. С помощью MATLABа построить 3-х мерную поверхность:

в области [x, y ] = [-1:0,1:1] [-2:0,1:2].
21. С помощью MATLABа построить 3-х мерную поверхность:

в области [x, y ] = .
22. С помощью MATLABа используя программу fzero
x 0 = 2км; x f = 8км.
27. Дана табличная зависимость потребления горючего (для легкового автомобиля) от времени эксплуатации.

polyfit, polyval ) найти аппроксимирующую зависимость G = f(t) полиномом 3-ей степени и определить среднюю ошибку аппроксимации.
28. Дана табличная зависимость стоимости легкового автомобиля от времени эксплуатации.

С помощью пакета MATLAB (функции polyfit, polyval ) найти аппроксимирующие зависимости C = f(t) полиномами 2-ой и 3-ейстепени и сравнить максимальные ошибки аппроксимации.
29. С помощью MATLABа (функция ode45

(5P)
в интервале x = 0…2 при начальных условиях: x 0 = 0, y 0 = 1. Предварительно уравнение (5P) преобразовать в систему 2-х дифференциальных уравнений.
30. С помощью MATLABа (функция ode23 ) решить обыкновенное дифференциальное уравнение:

(6P)
в интервале x = 0…5 при начальных условиях: x 0 = 0, y 0 = 2. Предварительно уравнение (6P) преобразовать в систему 2-х дифференциальных уравнений.
31. С помощью MATLABа (функция ode45

в интервале t = 0…8π при начальных условиях: t =0; x 0 = 1; y 0 = 1.
32. С помощью MATLABа (функция ode45 ) решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

в интервале  = 0,3…4 при начальных условиях:  = 0,3; x 0 = 1; y 0 = 0.
33. С помощью MATLABа (функция ode23 ) решить обыкновенное дифференциальное уравнение:

(7P)

в интервале t = 0…3c при начальных условиях: t = 0, r 0 = 0,
и ω = 2π (рад/с). Предварительно уравнение (7P) преобразовать в систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Все данные MatLab представляет в виде массивов. Очень важно правильно понять, как использовать массивы. Без этого невозможна эффективная работа в MatLab, в частности построение графиков, решение задач линейной алгебры, обработки данных, статистики и многих других. В данном подразделе описаны вычисления с векторами.

Массив - упорядоченная, пронумерованная совокупность однородных данных. У массива должно быть имя. Массивы различаются по числу размерностей или измерений: одномерные, двумерные, многомерные. Доступ к элементам осуществляется при помощи индекса. В MatLab нумерация элементов массивов начинается с единицы. Это значит, что индексы должны быть больше или равны единице.

Важно понять, что вектор, вектор-строка или матрица являются математическими объектами, а одномерные, двумерные или многомерные массивы - способы хранения этих объектов в компьютере. Всюду дальше будут использоваться слова вектор и матрица, если больший интерес представляет сам объект, чем способ его хранения. Вектор может быть записан в столбик (вектор-столбец) и в строку (вектор-строка). Вектор-столбцы и вектор-строки часто будут называться просто векторами, различие будет сделано в тех случаях, если важен способ хранения вектора в MatLab. Векторы и матрицы обозначаются курсивом, а соответствующие им массивы прямым моноширинным шрифтом, например: "вектор а содержится в массиве а", "запишите матрицу R в массив r".

Ввод сложение и вычитание векторов

Работу с массивами начнем с простого примера - вычисления суммы векторов:
, .

Для хранения векторов используйте массивы а и b. Введите массив а в командной строке, используя квадратные скобки и разделяя элементы вектора точкой с запятой:

» a =
a =
1.3000
5.4000
6.9000

Так как введенное выражение не завершено точкой с запятой, то пакет MatLab автоматически вывел значение переменной а. Введите теперь второй вектор, подавив вывод на экран

» b = ;

Для нахождения суммы векторов используется знак +. Вычислите сумму, запишите результат в массив с и выведите его элементы в командное окно:

» с = а + b
с =
8.4000
8.9000
15.1000

Узнайте размерность и размер массива а при помощи встроенных функций ndims и size:

» ndims(a)
ans =
2
» size(a)
ans =
3 1

Итак, вектор а хранится в двумерном массиве а размерностью три на один (вектор-столбец из трех строк и одного столбца). Аналогичные операции можно проделать и для массивов b и c . Поскольку числа в пакете MatLab представляются в виде двумерного массива один на один, то при сложении векторов используется тот же знак плюс, что и для сложения чисел.

Ввод вектор-строки осуществляется в квадратных скобках, однако элементы следует разделять пробелами или запятыми. Операции сложения, вычитания и вычисление элементарных функций от вектор-строк производятся так же, как и с вектор-столбцами, в результате получается вектор-строка того же размера, что и исходные. Например:

» s1 =
s1 =
3 4 9 2
» s2 =
s1 =
5 3 3 2
» s3 = s1 + s2
s3 =
8 7 12 4

Замечание 1

Если размеры векторов, к которым применяется сложение или вычитание, не совпадают, то выдается сообщение об ошибке.

Естественно, для нахождения разности векторов следует применять знак минус, с умножением дело обстоит несколько сложнее.
Введите две вектор-строки:

» v1 = ;
» v2 = ;

Операция.* (не вставляйте пробел между точкой и звездочкой!) приводит к поэлементному умножению векторов одинаковой длины. В результате получается вектор с элементами, равными произведению соответствующих элементов исходных векторов:

» u = v1.*v2
u =
14 -15 -24 9

При помощи.^ осуществляется поэлементное возведение в степень:

» р = v1.^2
p =
4 9 16 1

Показателем степени может быть вектор той же длины, что и возводимый в степень. При этом каждый элемент первого вектора возводится в степень, равную соответствующему элементу второго вектора:

» p = vl.^v2
Р =
128.0000 -243.0000 0.0002 1.0000

Деление соответствующих элементов векторов одинаковой длины выполняется с использованием операции./

» d = v1./v2
d =
0.2857 -0.6000 -0.6667 0.1111

Обратное поэлементное деление (деление элементов второго вектора на соответствующие элементы первого) осуществляется при помощи операции.\

» dinv = vl.\v2
dinv =
3.5000 -1.6667 -1.5000 9.0000

Итак, точка в MatLab используется не только для ввода десятичных дробей, но и для указания того, что деление или умножение массивов одинакового размера должно быть выполнено поэлементно.
К поэлементным относятся и операции с вектором и числом. Сложение вектора и числа не приводит к сообщению об ошибке. MatLab прибавляет число к каждому элементу вектора. То же самое справедливо и для вычитания:

» v = ;
» s = v + 1.2
s =
5.2000 6.2000 9.2000 11.2000
» r = 1.2 - v
r =
-2.8000 -4.8000 -6.8000 -8.8000
» r1 = v - 1.2
r1 = 2.8000 4.8000 6.8000 8.8000

Умножать вектор на число можно как справа, так и слева:

» v = ;
» p = v*2
р =.
8 12 16 20
» pi = 2*v
pi =
8 12 16 20

Делить при помощи знака / можно вектор на число:

» р = v/2
p =
2 3 4 5

Попытка деления числа на вектор приводит к сообщению об ошибке:

» р = 2/v
??? Error using ==> /
Matrix dimensions must agree.

Если требуется разделить число на каждый элемент вектора и записать результат в новый вектор, то следует использовать операцию./

» w = ;
» d = 12./w
d =
3 6 2

Все вышеописанные операции применимы как к вектор-строкам, так и к вектор-столбцам.
Особенность MatLab представлять все данные в виде массивов является очень удобной. Пусть, например, требуется вычислить значение функции sin сразу для всех элементов вектора с (который хранится в массиве с) и записать результат в вектор d. Для получения вектора d достаточно использовать один оператор присваивания:

» d = sin(с)
d =
0.8546
0.5010
0.5712

Итак, встроенные в MatLab элементарные функции приспосабливаются к виду аргументов; если аргумент является массивом, то результат функции будет массивом того же размера, но с элементами, равными значению функции от соответствующих элементов исходного массива. Убедитесь в этом еще на одном примере. Если необходимо найти квадратный корень из элементов вектора d со знаком минус, то достаточно записать:

» sqrt(-d)
ans =
0 + 0.9244i
0 + 0.7078i
0 + 0.7558i

Оператор присваивания не использовался, поэтому пакет MatLab записал ответ в стандартную переменную ans.

Для определения длины вектор-столбцов или вектор-строк служит встроенная функция length:

» length(s1)
ans =
4

Из нескольких вектор-столбцов можно составить один, используя квадратные скобки и разделяя исходные вектор-столбцы точкой с запятой:

» v1 = ;
» v2 = ;
» v =
v =
1
2
3
4
5

Для сцепления вектор-строк также применяются квадратные скобки, но сцепляемые вектор-строки отделяются пробелами или запятыми:

» v1 = ;
» v2 = ;
» v =
v =
1 2 3 4 5

Работа с элементами векторов

Доступ к элементам вектор-столбца или вектор-строки осуществляется при помощи индекса, заключаемого в круглые скобки после имени массива, в котором хранится вектор. Если среди переменных рабочей среды есть массив v, определенный вектор-строкой

» v = ;

то для вывода, например его четвертого элемента, используется индексация:

» v(4)
ans =
8.2000

Появление элемента массива в левой части оператора присваивания приводит к изменению в массиве

» v(2) = 555
v =
1.3000 555.0000 7.4000 8.2000 0.9000

Из элементов массива можно формировать новые массивы, например

» u =
u =
7.4000
555.0000
1.3000

Для помещения определенных элементов вектора в другой вектор в заданном порядке служит индексация при помощи вектора . Запись в массив w четвертого, второго и пятого элементов v производится следующим образом:

» ind = ;
» w = v(ind)
w =
8.2000 555.0000 0.9000

MatLab предоставляет удобный способ обращения к блокам последовательно расположенных элементов вектор-столбца или вектор-строки. Для этого служит индексация при помощи знака двоеточия. Предположим, что в массиве w , соответствующем вектор-строке из семи элементов, требуется заменить нулями элементы со второго по шестой. Индексация при помощи двоеточия позволяет просто и наглядно решить поставленную задачу:

» w = ;
» w(2:6) = 0;
» w
w =
0.1000 0 0 0 0 0 9.8000

Присваивание w(2:6) = 0 эквивалентно последовательности команд
w(2) = 0; w(3)=0; w(4)=0; w(5)=0; w(6)=0.
Индексация при помощи двоеточия оказывается удобной при выделении части из большого объема данных в новый массив:

» w - ;
» wl = w(3:5)
wl =
3.3000 5.1000 2.6000

Составьте массив w2, содержащий элементы w кроме четвертого. В этом случае удобно использовать двоеточие и сцепление строк:

» w2 =
w2 =
0.1000 2.9000 3.3000 2.6000 7.1000 9.8000

Элементы массива могут входить в выражения. Нахождение, например среднего геометрического из элементов массива u , можно выполнить следующим образом:

» gm = (u(l)*u(2)*u(3))^(l/3)
gm =
17.4779

Конечно, этот способ не очень удобен для длинных массивов. Для того чтобы найти среднее геометрическое, необходимо набрать в формуле все элементы массива. В MatLab существует достаточно много специальных функций, облегчающих подобные вычисления.

Применение функций обработки данных к векторам

Перемножение элементов вектора-столбца или вектора-строки осуществляется при помощи функции prod:

» z = ;
» р = prod(z)
p = 720

Функция sum предназначена для суммирования элементов вектора. С ее помощью нетрудно вычислить среднее арифметическое элементов вектора z:

» sum(z)/length(z)
ans =
3.5000

В MatLab имеется и специальная функция mean для вычисления среднего арифметического:

» mean(z)
ans =
3.5000

Для определения минимального и максимального из элементов вектора служат встроенные функции min и max:

» m1 = max(z)
m1 =
6
» m2 = min(z)
m2 =
1

Часто необходимо знать не только значение минимального или максимального элемента в массиве, но и его индекс (порядковый номер). В этом случае встроенные функции min и max необходимо использовать с двумя выходными аргументами, например

» = min(z)
m =
1
k =
3

В результате переменной m будет присвоено значение минимального элемента массива z, а номер минимального элемента занесен в переменную k.
Для получения информации о различных способах использования функций следует набрать в командной строке help и имя функции. MatLab выведет в командное окно всевозможные способы обращения к функции с дополнительными пояснениями.
В число основных функций для работы с векторами входит функция упорядочения вектора по возрастанию его элементов sort.

» r = ;
» R = sort(r)
R =

Можно упорядочить вектор по убыванию, используя эту же функцию sort :

» R1 = -sort(-r)
R1 =
9.4000 7.1000 1.3000 0.8000 -2.3000 -5.2000

Упорядочение элементов в порядке возрастания их модулей производится с привлечением функции abs:

» R2 = sort(abs(r))
R2 =
0.8000 1.3000 2.3000 5.2000 7.1000 9.4000

Вызов sort с двумя выходными аргументами приводит к образованию массива индексов соответствия элементов упорядоченного и исходного массивов:

» = sort(r)
rs =
-5.2000 -2.3000 0.8000 1.3000 7.1000 9.4000
ind =
3 2 5 6 4 1

Язык технических вычислений

Миллионы инженеров и ученых во всем мире используют MATLAB ® , чтобы анализировать и разработать системы и продукты, преобразовывающие наш мир. Матричный язык MATLAB является самым естественным способом в мире выразить вычислительную математику. Встроенная графика облегчает визуализацию и понимание данных. Окружение рабочего стола способствует экспериментированию, исследованиям и открытиям. Эти средства MATLAB и возможности все строго протестированы и разработаны, чтобы работать совместно.

MATLAB помогает вам воплощать свои идеи за пределами рабочего стола. Можно запустить исследования больших наборов данных и масштабировать до кластеров и облаков. Код MATLAB может быть интегрирован с другими языками, позволив вам развернуть алгоритмы и приложения в сети, предприятии и промышленных системах.

Начало работы

Изучите основы MATLAB

Основы языка

Синтаксис, индексация и обработка массива, типы данных, операторы

Импорт и анализ данных

Импорт и экспорт данных, в том числе и больших файлов; предварительная обработка данных, визуализация и исследования

Математика

Линейная алгебра, дифференцирование и интегрирование, преобразования Фурье и прочая математика

Графика

2D и 3D графики, изображения, анимация

Программирование

Скрипты, функции и классы

Создание приложений

Разработка приложений с помощью App Designer, программируемого рабочего процесса или GUIDE

Инструменты разработки программного обеспечения

Отладка и тестирование, организация крупных проектов, интеграция с системой контроля версий, упаковка тулбоксов

Язык технических вычислений

Миллионы инженеров и ученых во всем мире используют MATLAB ® , чтобы анализировать и разработать системы и продукты, преобразовывающие наш мир. Матричный язык MATLAB является самым естественным способом в мире выразить вычислительную математику. Встроенная графика облегчает визуализацию и понимание данных. Окружение рабочего стола способствует экспериментированию, исследованиям и открытиям. Эти средства MATLAB и возможности все строго протестированы и разработаны, чтобы работать совместно.

MATLAB помогает вам воплощать свои идеи за пределами рабочего стола. Можно запустить исследования больших наборов данных и масштабировать до кластеров и облаков. Код MATLAB может быть интегрирован с другими языками, позволив вам развернуть алгоритмы и приложения в сети, предприятии и промышленных системах.

Начало работы

Изучите основы MATLAB

Основы языка

Синтаксис, индексация и обработка массива, типы данных, операторы

Импорт и анализ данных

Импорт и экспорт данных, в том числе и больших файлов; предварительная обработка данных, визуализация и исследования

Математика

Линейная алгебра, дифференцирование и интегрирование, преобразования Фурье и прочая математика

Графика

2D и 3D графики, изображения, анимация

Программирование

Скрипты, функции и классы

Создание приложений

Разработка приложений с помощью App Designer, программируемого рабочего процесса или GUIDE

Инструменты разработки программного обеспечения

Отладка и тестирование, организация крупных проектов, интеграция с системой контроля версий, упаковка тулбоксов

Язык технических вычислений

Миллионы инженеров и ученых во всем мире используют MATLAB ® , чтобы анализировать и разработать системы и продукты, преобразовывающие наш мир. Матричный язык MATLAB является самым естественным способом в мире выразить вычислительную математику. Встроенная графика облегчает визуализацию и понимание данных. Окружение рабочего стола способствует экспериментированию, исследованиям и открытиям. Эти средства MATLAB и возможности все строго протестированы и разработаны, чтобы работать совместно.

MATLAB помогает вам воплощать свои идеи за пределами рабочего стола. Можно запустить исследования больших наборов данных и масштабировать до кластеров и облаков. Код MATLAB может быть интегрирован с другими языками, позволив вам развернуть алгоритмы и приложения в сети, предприятии и промышленных системах.

Начало работы

Изучите основы MATLAB

Основы языка

Синтаксис, индексация и обработка массива, типы данных, операторы

Импорт и анализ данных

Импорт и экспорт данных, в том числе и больших файлов; предварительная обработка данных, визуализация и исследования

Математика

Линейная алгебра, дифференцирование и интегрирование, преобразования Фурье и прочая математика

Графика

2D и 3D графики, изображения, анимация

Программирование

Скрипты, функции и классы

Создание приложений

Разработка приложений с помощью App Designer, программируемого рабочего процесса или GUIDE

Инструменты разработки программного обеспечения

Отладка и тестирование, организация крупных проектов, интеграция с системой контроля версий, упаковка тулбоксов